2019版高考数学总复* 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和课件 文

发布时间:2021-06-14 07:38:48

[知识重温]
一、必记 5●个知识点 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等
差数列的公差,一般用字母 d 表示;定义的表达式为:an+1-an= d(n∈N*).

2.等差数列的通项公式 设等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an= a1+(n-1)d.等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数形的函数. 3.等差中项 若 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a,b 的等差中项,且 A=a+2 b. 4.等差数列的前 n 项和公式 若已知首项 a1 和末项 an,则 Sn=n?a12+an?,或等差数列{an}的 首项是 a1,公差是 d,则其前 n 项和公式为 Sn=na1+n?n2-1?d.等差 数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数形的函数且无常数项.

5.等差数列与等差数列各项的和有关性质
(1)am=an+(m-n)d 或amm--ann=d.(m、n∈N*)
(2)在等差数列中,若 p+q=m+n,则有 ap+aq=am+an;若 2m=p+q,则有 ap+aq=2am,(p,q,m,n∈N*).
(3)d>0?{an}是递增数列,Sn 有最小值;d<0?{an}是递减数 列,Sn 有最大值;d=0?{an}是常数数列.
(4)数列{λan+b}仍为等差数列,公差为 λd. (5)若{bn},{an}都是等差数列,则{an±bn}仍为等差数列. (6)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为 kd.

(7)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (8)S2n-1=(2n-1)an.
(9)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇=n2d. 若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项).

二、必明 2●个易误点 1.要注意概念中的“从第 2 项起”.如果一个数列不是从第 2 项起,而是从第 3 项或第 4 项起,每一项与它前一项的差是同一个 常数,那么此数列不是等差数列. 2.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别.

[小题热身]

1.(2015·重庆卷)在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6 等于( )

A.-1

B.0

C.1

D.6

解析:由等差数列的性质,得 a6=2a4-a2=2×2-4=0,选 B.

答案:B

2.若等差数列{an}的前 5 项之和 S5=25,且 a2=3,则 a7=( ) A.12 B.13 C.14 D.15
解析:由 S5=?a2+2a4?·5?25=?3+2a4?·5?a4=7,所以 7=3+ 2d?d=2,所以 a7=a4+3d=7+3×2=13,故选 B.
答案:B

3.若等差数列{an}的前三项为 x-1,x+1,2x+3,则数列{an} 的通项公式为( )
A.an=2n-5 B.an=2n-3 C.an=2n-1 D.an=2n+1
解析:∵等差数列{an}的前三项为 x-1,x+1,2x+3, ∴(x-1)+(2x+3)=2(x+1),解得 x=0. ∴a1=-1,d=2, ∴an=-1+(n-1)×2=2n-3. 答案:B

4.(2018·黄冈质检)在等差数列{an}中,如果 a1+a2=40,a3+ a4=60,那么 a7+a8=( )
A.95 B.100 C.135 D.80
解析:由等差数列的性质可知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+ a8 构成新的等差数列,于是 a7+a8=(a1+a2)+(4-1)[(a3+a4)-(a1 +a2)]=40+3×20=100.
答案:B

5.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+12(n≥2),则数列{an}的 前 9 项和等于________.
解析:当 n≥2 时,an=an-1+12, 所以{an}是首项为 1,公差为12的等差数列, 所以 S9=9×1+9×2 8×12=9+18=27. 答案:27

6.在等差数列 40,37,34,…中,第一个负数项是________.
解析:∵a1=40,d=37-40=-3, ∴an=40+(n-1)×(-3)=-3n+43, 令 an<0,即-3n+43<0,解得 n>433, 故第一个负数项是第 15 项,即 a15=-3×15+43=-2. 答案:-2

考向一 等差数列的基本运算

[自主练透型]
1.(2017·新课标全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1 B.2 C.4 D.8

解析:设{an}的公差为 d,则

由????? aS46+=a458=,24,

???a1+3d?+?a1+4d?=24, 得???6a1+6×2 5d=48,

故选 C.

答案:C

解得 d=4.

2.(2018·合肥检测二)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,

S6=3,则 S10=( )

1 A.10

B.0

C.-10 D.-15

解析:本题考查等差数列.设等差数列{an}的公差为 d,则

??S3=3a1+3d=6, ???S6=6a1+15d=3,

解得?????ad1==-3,1,

则 S10=10a1+45d=30-45

=-15,故选 D.

答案:D

3.(2018·湖北调考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=4, a2+a4+a6=30,则 S6=( )
A.54 B.44 C.34 D.24
解析:本题考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式.设数列 {an}的公差为 d,4+d+4+3d+4+5d=30,解得 d=2,所以 S6=6×4 +6×2 5×2=54,故选 A.
答案:A

悟·技法 等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差为 d,然 后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求解.
(2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an, d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.

考向二 等差数列的判定与证明

[自主练透型]

(2018·湖北华中师大附中期中)已知数列{an}满足 a1=2,n(an +1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*).
(1)求证:数列???ann???是等差数列,并求其通项公式; (2)设 bn= 2an-15,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

解析:(1)证明:∵n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*),
∴nan+1-(n+1)an=2n(n+1),∴na+n+11-ann=2,
∴数列???ann???是等差数列,其公差为 2,首项为 2, ∴ann=2+2(n-1)=2n. (2)由(1)知 an=2n2,∴bn= 2an-15=2n-15, 则数列{bn}前 n 项和 Sn=n?-13+22n-15?=n2-14n.

悟·技法 等差数列的判定方法
(1)等差数列的判定通常有两种方法:第一种是定义法,an-an -1=d(常数)(n≥2);第二种是利用等差中项法,即 2an=an-1+an+ 1(n≥2).
(2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前 n 项和公式 直接判定.
(3)若判定一个数列不是等差数列,则只需要说明某连续 3 项(如 前三项)不是等差数列即可.

考向三 等差数列的性质及其应用

[分层深化型]

[例] (1)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S11=22,则 a3+a7

+a8=( D )

A.18

B.12

C.9

D.6

(2)(2018·合肥质检)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a8=1,

S16=0,当 Sn 取最大值时 n 的值为( B )

A.7

B.8

C.9

D.10

解析:(1)由题意得 S11=11?a12+a11?=11?2a12+10d?=22,即 a1 +5d=2,所以 a3+a7+a8=a1+2d+a1+6d+a1+7d=3(a1+5d)= 6.

(2)法一

??a8=a1+7d=1 由???S16=16a1+16×2 15d=0

,解得?????ad1==-152 ,

则 Sn=-n2+16n=-(n-8)2+64,则当 n=8 时,Sn 取得最大 值.

法二 因为{an}是等差数列,所以 S16=8(a1+a16)=8(a8+a9) =0,则 a9=-a8=-1,即数列{an}的前 8 项是正数,从第 9 项开 始是负数,所以(Sn)max=S8,选项 B 正确.

悟·技法 1.等差数列的性质 (1)项的性质:在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d?amm--ann= d(m≠n),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等 差数列的公差.
(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,则①S2n =n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);②S2n-1=(2n-1)an.

2.求等差数列前 n 项和 Sn 最值的 2 种方法 (1)函数法:利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn=an2+bn, 通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:①当 a1>0,d<0 时,满足?????aamm≥ +1≤0,0 的项数 m
使得 Sn 取得最大值为 Sm;②当 a1<0,d>0 时,满足?????aamm≤+1≥0,0 的项 数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm.

[同类练]——(着眼于触类旁通) 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知前 6 项和为 36,最 后 6 项的和为 180,Sn=324(n>6),则数列{an}的项数为________.
解析:由题意知 a1+a2+…+a6=36,① an+an-1+an-2+…+an-5=180,② ①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)= 216,∴a1+an=36, 又 Sn=n?a12+an?=324,∴18n=324,∴n=18. 答案:18

[变式练]——(着眼于举一反三) 2.(2018·重庆适应性测试)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, S10=16,S100-S90=24,则 S100=________.
解析:依题意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90 依次成 等差数列,设该等差数列的公差为 d.又 S10=16,S100-S90=24,因 此 S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得 d=89,因此 S100= 10S10+102×9d=10×16+10× 2 9×89=200.
答案:200

3.(2018·河北衡水中学二调)两个等差数列的前 n 项和之比为

52nn+-110,则它们的第 7 项之比为(

)

A.2

B.3

45 C.13

70 D.27

解析:设这两个数列的前

n

项和分别为

Sn



Tn





S13 T13



13?a1+a13?

13?b12+b13?=1133××22ab77=ab77=52××1133+-110=3,故选 B.

2

答案:B

[拓展练]——(着眼于迁移应用) 4.(2018·三门峡月考){an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1>0,d<0,S4=S8,则 Sn>0 成立的最大自然数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14
解析:由 S4=S8 得,a5+a6+a7+a8=0,即 a6+a7=0,又 a1>0, d<0,
所以 S12=12?a12+a12?=6(a6+a7)=0,则当 n<12 时,Sn>0;当 n≥12 时,Sn≤0,即 Sn>0 成立的最大自然数为 11,故选 A.
答案:A

5.(2018·湖南省湘中名校高三联考)若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2 016+a2 017>0,a2 016·a2 017<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最 大正整数 n 是( )
A.2 016 B.2 017 C.4 032 D.4 033


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